Escritos

Lo difícil del Roadster volador es el controlador

octubre de 2026

En octubre de 2026 Tesla mostró un Roadster que sube por una pared curva hasta quedar de cabeza, se suelta desde lo alto, se endereza en el aire y aterriza sobre propulsores de gas frío; más tarde, en el mismo evento, el auto saltó una fila de vehículos estacionados y dio una vuelta completa en el aire. La prensa repitió tres cifras: un auto de 1.7 toneladas, un tanque de 600 litros y nitrógeno a 10 000 psi11. Un psi es una libra-fuerza por pulgada cuadrada, 6 894.76 Pa. Diez mil psi son 68.9 MPa; una atmósfera son 101 325 Pa, o 14.7 psi.. Mi primera reacción, frente a un pizarrón, fue tratar de demostrar que esas cifras no cuadraban; cuadran, y la primera mitad de este texto explica por qué.

La segunda mitad trata de lo que las cifras dejan fuera. Levantar dos toneladas con gas comprimido durante unos segundos es física ordinaria; mantenerlas en una trayectoria planeada mientras giran de cabeza, con propulsores que solo empujan, válvulas que abren tarde, un tanque que se enfría al vaciarse y un sensor que nunca coincide del todo consigo mismo, es un problema de control. Para abordarlo construyo el controlador más sencillo capaz de volar las dos acrobacias, un lazo PID, lo comparo con la telemetría y muestro en qué punto deja de bastar.

Mi pizarrón, reconstruido a partir de un video grabado con el teléfono; desplázate a los lados para leerlo. De izquierda a derecha: los vectores de estado y de error con los propulsores, un esbozo del diagrama de fases del nitrógeno, el salto y las fuerzas sobre el auto, el medio rizo, el esbozo del PID del que salió este texto y mi primera estimación del nitrógeno. Esa estimación tiene un desliz: escribí 600 L como 600 m³, un factor de mil, de modo que una densidad de 535 kg/m³ (la ecuación de estado da 495) convirtió 297 kg de nitrógeno en unas 320 toneladas. Las 5 toneladas que leí en el medio rizo eran el indicador de DOWNFORCE, 4 698 kg de succión, cerca del doble del peso del auto. Para hacer las cuentas de cabeza redondeé una atmósfera a 10 psi.

Demostración y afirmaciones de Tesla

El Roadster de cabeza en lo alto de la pared curva, con los indicadores de la transmisión — El auto estacionado de cabeza en lo alto de la pared, sostenido por sus ventiladores. Los indicadores de la transmisión marcan 4 698 kg de DOWNFORCE, un cabeceo de 170° y una altitud de 68.1 ft. Cuadro de la edición de CNET de la transmisión en el minuto 1:24.

La transmisión en vivo de Tesla (Tesla 2026a) incluyó cuatro demostraciones, dos de las cuales la empresa publicó después como videos cortos (Tesla 2026c, 2026b). En la primera, el auto subió despacio por una pared curva, se estacionó de cabeza en lo alto y volvió a bajar; luego repitió la subida a velocidad, dejó la cima de cabeza y aterrizó sobre sus propulsores. En la segunda se lanzó por encima de un Tesla Semi y de una fila de autos, dio una vuelta completa en el aire y aterrizó. La tercera fue una aceleración de 0 a 60 mph en 0.81 segundos, y en la cuarta, al final de la transmisión, el auto se elevó junto a un poste, giró en el aire y aterrizó sobre los propulsores. No analizo ninguna de estas dos últimas, y la edición de CNET que medí termina, además, antes de la cuarta.

Las afirmaciones que importan para este texto las hicieron quienes estaban en el escenario. Un presentador describió «un sistema de succión con ventiladores debajo del auto que puede jalar hasta 2 G», y añadió que «tomamos prestada algo de tecnología de SpaceX para hacer el resto». Elon Musk dijo que el auto tiene «propulsores de control de actitud y propulsores principales atrás» y «un tanque de aire avanzado de ultra alta presión» que el propio auto recarga. Lars Moravy, vicepresidente de ingeniería de vehículos de Tesla, dijo que el auto lleva dos tanques recubiertos de fibra de carbono, «600 L en total», que alimentan diez toberas, y otro presentador atribuyó a los cuatro propulsores traseros, los que empujan el auto hacia adelante, «más de 80 kN de empuje». En una entrevista con Hagerty, grabada la víspera y publicada el mismo día (Hagerty 2026), Moravy situó el peso del auto en «poco menos de 1 700 kilos» y los tanques en 10 000 psi de nitrógeno22. En la transmisión, Moravy también dijo que el gas pesa «unos 250 kilos de aire». A 20 °C, 250 kg en 600 litros equivalen a 6,338 psi de aire o 7,143 psi de nitrógeno, por debajo de los 10 000 psi nominales. Uso el valor nominal, que pone 297 kg de nitrógeno en los tanques; con 250 kg, cada balance de gas de este texto bajaría cerca de una sexta parte, y un tanque lleno seguiría alcanzando para una sola acrobacia., que son las cifras que repitió la prensa, y enumeró las diez toberas: cuatro atrás para la aceleración de 0 a 60 y un sistema de vuelo con «una en cada esquina y luego dos al frente para la guiñada». Tesla habló de aire en el escenario y de nitrógeno con Hagerty. Como el aire es 78 % nitrógeno en volumen y un tanque de aire guarda cerca de 7 % más masa que el mismo tanque lleno de nitrógeno, trabajo con nitrógeno y doy la cifra del aire donde importa.

El Roadster elevándose sobre sus chorros junto a una fila de vehículos estacionados — El despegue del kickflip. Los chorros de los propulsores de las esquinas, dirigidos hacia abajo, elevan el auto junto a la fila estacionada. Video Kickflip de Tesla en el segundo 0:13.

Telemetría de la transmisión

La transmisión superpuso la telemetría del auto al video: un indicador a la izquierda que marca DOWNFORCE en kilogramos durante la subida lenta y fuerza G durante los vuelos33. Un acelerómetro no siente la gravedad. En caída libre marca cero; parado en el suelo marca 1 g, porque el piso empuja hacia arriba. Mide la fuerza específica: todas las fuerzas salvo la gravedad, divididas entre la masa. En el aire son el empuje y un poco de resistencia del aire., un indicador de cabeceo durante la subida, un indicador de altitud en pies, un pequeño modelo 3-D que gira con la actitud del auto44. La actitud es la orientación del auto en el espacio, que se describe con tres ángulos: el alabeo alrededor de su eje longitudinal, el cabeceo alrededor de su eje transversal y la guiñada alrededor de su eje vertical. y una vista superior con seis anillos que se encienden cuando dispara un propulsor, uno en cada esquina y dos en la nariz. Descargué la edición de diez minutos que CNET hizo de la transmisión (CNET 2026), a 1280×720 y 29.97 cuadros por segundo, y leí esos indicadores en cada cuadro de las tres ventanas que importan: 14 segundos de subida lenta y dos vuelos de unos cinco segundos cada uno.

El OCR de uso general falló con los indicadores: la tipografía del HUD dibuja el cero con una diagonal y Tesseract (Smith 2007) lo lee como un dos, de modo que 0.9 g salía como 2.9 g. Segmenté entonces cada indicador en glifos, agrupé 4 841 glifos en 24 conglomerados, etiqueté los conglomerados una vez a ojo y clasifiqué cada cuadro contra ellos. Los anillos no necesitaron OCR, porque uno apagado marca cerca de 55 en una escala de 0 a 255 y uno encendido, de 165 a 190. El ícono de actitud lo leí a ojo en pasos de 0.1 segundos; es nítido en los estados difíciles de confundir (derecho, de lado, de cabeza) y confiable a unos 20° entre ellos.

El resto salió de los cuadros del video. La altura de la pared, 21.1 m según el indicador de altitud, sirvió de regla para medir el auto, que tiene 4.4 m de largo con un margen de medio metro, una vez corregida la perspectiva. El movimiento horizontal, en cambio, no pudo medirse: hay una sola cámara, que mira la pared en ángulo, y al escalar la posición del auto con la pared su altura llegaba a separarse 5 m de la del indicador. Por eso tomo el movimiento vertical de los indicadores y trato el horizontal como una estimación gruesa de unos pocos metros por segundo.

Magnitud	Valor	Fuente
Perfil de la pared	dos arcos, de 9.1 m y 9.8 m de radio	cabeceo contra altitud, ajuste con RMS de 0.17 m
Cima de la pared	21.1 m	indicador de altitud
DOWNFORCE en la cima	4 698 kgf	indicador de DOWNFORCE, auto de cabeza
Subida lenta	2.0 m/s en promedio	cabeceo, altitud y perfil de la pared
Punto más alto del kickflip	8.0 m	indicador de altitud
Vuelo libre del kickflip	7.7 m/s² hacia abajo, es decir, 0.22 g de sustentación que sigue encendida	ajuste de una parábola; el indicador marca 0.2 g
Fuerza específica máxima	3.2 g en el despegue del kickflip, 2.5 g en el aire; 3.3 g al frenar tras dejar la pared	indicador de fuerza G
Impulso del empuje por kg de auto	3.4 g·s en el kickflip, 4.6 g·s en el medio rizo	indicador de fuerza G, integrado mientras el auto vuela
Alabeo durante el kickflip	360° en 2.1 s, en reposo en ambos extremos	ícono de actitud, ajuste con RMS de 7°
Giro para enderezarse al dejar la pared	170° en 1.5 s	ícono de actitud, ajuste con RMS de 1°
Largo del auto	4.4 ± 0.5 m	cuadros del video, con la pared como regla

Telemetría del kickflip según los indicadores de la transmisión. La altitud sube hasta 8.0 m y el auto vuela durante 3.8 s. Durante el alabeo, los propulsores de las esquinas izquierdas y derechas disparan en momentos distintos, y así el auto produce al menos parte de su par; los cuatro disparan en el despegue y en el aterrizaje.

El medio rizo. En la pared el auto sube hasta unos 21 m en 5 segundos, sin ningún propulsor encendido: ese trabajo lo hacen los ventiladores y las llantas. Las esquinas derechas se encienden justo antes de que deje la cima de cabeza; se endereza mientras cae y frena hasta con 3.3 g antes de un descenso final lento.

Nada de esto mide la masa del auto. Todas las ecuaciones cinemáticas la cancelan, de modo que un video da aceleraciones y nunca kilogramos; para obtener la masa hace falta una fuerza conocida. La transmisión ofrece una, aunque solo mediante un supuesto: con el auto estacionado en la cima, el indicador marcó 4 700 kgf de DOWNFORCE55. Los kilogramos del indicador son kilogramos-fuerza, el peso de esa cantidad de kilogramos: 1 kgf son 9.81 N, de modo que 4 700 kgf son 46.1 kN. El indicador de altitud está en pies: 1 ft son 0.3048 m, de modo que 69 ft son 21.0 m., y el presentador dijo que los ventiladores «pueden jalar hasta 2 G». Si los ventiladores jalaban su máximo declarado, el auto pesa 2 350 kg; adopto ese supuesto en todo el texto, y cada cifra de energía y de gas que sigue escala con él. Los 80 kN de Tesla no sirven para comprobarlo, porque esa cifra corresponde a los propulsores traseros, que empujan el auto hacia adelante, mientras que el máximo de 3.3 g del indicador proviene de los propulsores de las esquinas cuando frenan la caída. Si los cuatro propulsores de las esquinas fueran tan potentes como los cuatro traseros, 80 kN a 3.3 g darían 2,472 kg, una cifra coherente que, sin embargo, no es una medición. Las 1.7 toneladas de Hagerty corresponden al auto del estudio, que lleva un tanque de 200 litros; el sistema de vuelo añade otros 400 litros de tanque, seis propulsores y su gas. Con los 0.6 kg por litro de los tanques compuestos de hidrógeno a 70 MPa, el tanque adicional pesaría unos 240 kg y su nitrógeno unos 200 kg, así que el auto volador rondaría las 2.1 toneladas antes de contar propulsores y tuberías, a menos de 10 % de la cifra que uso.

El medio rizo

La pared es casi media circunferencia. Al graficar el indicador de cabeceo contra el de altitud durante la subida lenta, el tiempo desaparece del problema y queda la geometría: un primer arco de 9.1 m de radio lleva el auto del piso a la vertical, un segundo de 9.8 m lo lleva a 170°, casi de cabeza, y la altitud sigue subiendo hasta 21.1 m mientras el cabeceo marca 170°. Tomado al pie de la letra, ese último tramo sería una sección recta invertida de unos 13 m, pero los cuadros sugieren un borde más corto, y es posible que la referencia de altitud esté por encima de la superficie de rodamiento; por eso uso solo los arcos.

El medio rizo. A la izquierda, la pared reconstruida a partir de los indicadores, con el auto en tres puntos. A la derecha, las fuerzas sobre el auto que avanza de cabeza en la cima, a escala: una succión del doble del peso, el empuje de la pista de alrededor de un peso y un agarre de 0.17 veces el peso que lo sostiene en el borde.

Sobre el auto en la pared actúan cuatro fuerzas: su peso $m g$ , la succión de los ventiladores $S$ que lo jala hacia la pista, la fuerza normal de la pista $N$ que lo aleja de ella y la tracción de las llantas $F_{t}$ a lo largo de la pista. Con $θ$ el ángulo de la pista (0 en el piso, 90° en la vertical, 180° de cabeza) y $R$ su radio, la segunda ley de Newton en la dirección perpendicular a la pista y a lo largo de ella66. En la dirección perpendicular a la pista el auto sigue una curva, y un cuerpo que se mueve con rapidez v sobre una curva de radio R necesita una fuerza neta m v²/R hacia el centro de la curva. En la pared, ese centro queda del lado del techo del auto. se escribe

N - S = m \frac{v^{2}}{R} + m g \cos θ, F_{t} - m g \sin θ = m \frac{d v}{d t}

Las llantas siguen sobre la pista mientras $N \geq 0$ , y no patinan mientras $| F_{t} | \leq μ N$ 77. El coeficiente de fricción μ es el mayor cociente entre la fuerza de fricción y la fuerza normal que una llanta resiste antes de deslizarse: de 0.9 a 1.1 para llantas de calle sobre concreto seco, más de 1.5 para neumáticos lisos de carreras.. En la subida lenta, donde $v \approx 0$ , el agarre que necesitan las llantas es

μ \geq \frac{\sin θ}{S / (m g) + \cos θ}

Con una succión del doble del peso, ese requisito alcanza su máximo, $μ = 0.58$ , a 120°, dentro de lo que da una llanta de calle sobre concreto seco. Con una succión igual al peso, el requisito diverge a medida que el auto se voltea: a 150° el auto necesitaría $μ = 3.7$ , y de cabeza ninguna llanta lo sostiene. «Dos g» es, pues, la succión con la que un auto puede recorrer despacio un medio rizo con un margen de cerca de 1.7 en el agarre.

Agarre necesario para avanzar despacio por la pared. Con una succión del doble del peso, el peor punto es 0.58 a 120°; con una succión igual al peso, el auto no puede colgar de cabeza con ningún agarre.

La subida rápida muestra lo mismo desde el otro lado. Un auto sin succión que recorre un rizo de 9.8 m de radio necesita al menos $\sqrt{g R}$ = 9.8 m/s en lo alto y, por lo tanto, al menos 21.5 m/s abajo. Si se invierte el registro de altitud a través del perfil de la pared, se obtiene la rapidez del Roadster sobre los dos arcos: entre 5 y 10 m/s, 6.1 m/s en promedio, con lo que recorre sus 28 m en 4.0 s. La succión suple, así, la rapidez que de otro modo haría falta.

Como prueba del propio indicador, la fuerza específica que implican esas rapideces, $v^{2} / R + g \cos θ$ en la dirección perpendicular a la pista y la fuerza de tracción a lo largo de ella, coincide con el indicador de fuerza G con un RMS de 0.4 g, un margen demasiado holgado para recuperar la rapidez a partir del indicador, pero suficiente para saber que el indicador mide el auto y no es decoración.

Energía

La masa aparece en toda energía y en ninguna rapidez: las rapideces del auto son las magnitudes medidas, y las energías que siguen escalan con los 2 350 kg que supuse.

Magnitud	Valor
Energía potencial en la cima de la pared	485 kJ (0.13 kWh)
Rapidez de caída libre tras 21.1 m	20.3 m/s
Descenso más rápido medido	15.0 m/s
Energía cinética a esa rapidez	263 kJ, que los propulsores retiran en cerca de un segundo
Energía potencial en el punto más alto del kickflip	184 kJ
Rapidez de despegue necesaria para esa altura, con los 0.2 g de sustentación que marca el indicador durante el vuelo libre	11.1 m/s

Subir por la pared le cuesta a la batería al menos 0.13 kWh; la parte cara es el vuelo, cuya energía sale del tanque.

Nitrógeno a 10 000 psi

Diez mil psi son 68.9 MPa, 680 atmósferas, y a esa presión el nitrógeno está lejos de comportarse como un gas ideal. La ley del gas ideal pone 475 kg de nitrógeno en 600 litros a 20 °C, mientras que la ecuación de estado de referencia del nitrógeno (Span et al. 2000), evaluada con CoolProp (Bell et al. 2014), da 495 kg/m³ y 297 kg. El factor de compresibilidad es 1.6088. El factor de compresibilidad Z = p/(ρRT) compara un gas real con uno ideal. Con Z = 1 el gas es ideal; por encima de 1, la repulsión entre moléculas lo vuelve más rígido de lo que predice la ley del gas ideal, y cabe menos en el tanque.: las moléculas están tan juntas que su repulsión mantiene abierto el volumen. Con la ecuación de estado del aire (Lemmon et al. 2000), el mismo tanque guarda 319 kg de aire.

Ese nitrógeno es un fluido supercrítico99. Por encima de su temperatura y su presión críticas, una sustancia no tiene punto de ebullición: si se comprime más, se vuelve más densa de forma continua y nunca forma una superficie líquida. El dióxido de carbono supercrítico, por encima de 31 °C y 7.4 MPa, es uno de los disolventes que se usan para quitarle la cafeína al café., que no es lo mismo que un superfluido. El punto crítico del nitrógeno está en 126.2 K y 3.40 MPa, y el tanque, a 2.3 veces la temperatura crítica y a 20 veces la presión crítica, está en la zona donde desaparece la distinción entre líquido y gas: el fluido del tanque tiene 495 kg/m³, 61 % de la densidad del nitrógeno líquido en su punto de ebullición, pero llena el tanque como un gas, sin superficie, sin burbujas y sin ebullición. Un superfluido, en cambio, es un líquido cuántico que fluye con viscosidad nula1010. El helio-4 superfluido trepa por las paredes de su recipiente, se escapa por poros de unos pocos nanómetros y sigue fluyendo alrededor de un anillo sin frenarse. Una fracción grande de sus átomos comparte un mismo estado cuántico, y para eso hacen falta átomos muy ligeros a temperaturas muy bajas.. El helio-4 se vuelve superfluido por debajo de 2.17 K (Kapitza 1938; Allen y Misener 1938); el nitrógeno se congela a 63 K, mucho antes de que los efectos cuánticos puedan importar, así que nunca llega a serlo.

Diagrama de fases del nitrógeno en todo su intervalo, calculado con CoolProp a partir de la ecuación de estado de referencia de Span y colaboradores (2000) y de sus ecuaciones de fusión y de sublimación. Por debajo del punto triple, 63.2 K y 12.5 kPa, el sólido se sublima; entre el punto triple y el punto crítico, el líquido hierve; por encima del punto crítico, el fluido es supercrítico hasta que una presión de unos 2.3 GPa a temperatura ambiente lo congela. La curva de fusión va punteada donde se extrapola más allá de 287 K, y la línea punteada en 35.6 K separa las dos formas sólidas, α y β. El tanque está en la región supercrítica, lejos del sólido.

El mismo diagrama alrededor del tanque y sus propulsores. El tanque lleno está muy adentro de la región supercrítica. Si el tanque se vacía sin tomar calor de sus paredes, el gas que queda se enfría por la trayectoria naranja hacia el punto crítico. El gas que llega a un propulsor se expande en la tobera por la trayectoria azul y termina dentro de la región de líquido y vapor, a 77 K.

En su camino hacia afuera, al gas le ocurren tres cosas.

Primero, el regulador lo lleva a la presión de cámara del propulsor, que supongo de 20 MPa. La estrangulación conserva la entalpía1111. La entalpía, h = u + p/ρ, es la energía interna de un fluido más el trabajo que hace al abrirse paso en un espacio. Cuando un gas cruza una válvula sin intercambiar calor ni trabajo, su entalpía es la misma de ambos lados. y, a estas presiones, calienta ligeramente el nitrógeno en vez de enfriarlo1212. Es el efecto Joule-Thomson. La mayoría de los gases se enfrían al estrangularse, porque sus moléculas se atraen y separarlas cuesta energía; así funcionan los refrigeradores y los licuadores de gas. A presión suficientemente alta domina la repulsión entre moléculas y el gas se calienta; la frontera entre ambos regímenes se llama curva de inversión, y este tanque empieza por encima de ella., de modo que con el tanque lleno el gas sale del regulador a 294 K, cerca de un kelvin más caliente que al entrar; cuando el tanque baja de unos 40 MPa, la misma válvula pasa a enfriarlo.

Después, la tobera lo acelera: una expansión ideal de 20 MPa a una atmósfera da una velocidad de escape de 656 m/s, un impulso específico de 67 s1313. El empuje es la cantidad de movimiento que la tobera lanza hacia atrás cada segundo, F = ṁ v_e, más un término de presión que vale cero en una tobera ideal. El impulso específico es la velocidad de escape dividida entre la gravedad estándar, 9.81 m/s²: los segundos que un kilogramo de propelente puede sostener su propio peso. El nitrógeno frío da unos 70 s; un motor cohete de queroseno y oxígeno, unos 300 s. y un coeficiente de empuje de 1.601414. El coeficiente de empuje C_F = F/(p_c A_t) mide qué tan bien convierte una tobera en empuje la presión de cámara p_c, que actúa sobre el área de la garganta A_t. Una tobera ideal que expande nitrógeno de 20 MPa a una atmósfera da 1.6. (Sutton y Biblarz 2016). El chorro sale a 77 K con cerca de 89% todavía en vapor, y el resto se condensa en gotas. Los chorros blancos del video son probablemente esa neblina mezclada con la humedad del aire que se condensa, aunque el escenario también usó niebla artificial y no puedo distinguir las tres.

Por último, el tanque se enfría. Cada kilogramo que sale hace trabajo al empujar al resto hacia afuera y, si las paredes no aportan calor, el gas que queda sigue una isentrópica1515. Adiabático significa que ningún calor cruza la frontera; isentrópico, que además no hay fricción ni mezcla, y la entropía se mantiene constante. Un gas que se expande de forma isentrópica hace trabajo sobre lo que empuja y se enfría.: después de usar un tercio del gas, la presión del tanque cae por debajo de un regulador ajustado a 20 MPa, y después de usar 40 %, el tanque está a 200 K y 15 MPa. Como los tanques compuestos tienen recubrimientos interiores de polímero que aíslan, el tanque real queda en algún punto entre esta trayectoria adiabática y la temperatura ambiente. Por debajo del ajuste del regulador el empuje cae con la presión del tanque, de modo que un tanque que se enfría pierde empuje en el curso de una sola acrobacia.

Los tres procesos en un diagrama de temperatura y entropía. El regulador lleva el gas por una línea de entalpía constante (verde). Si no le llega calor, el gas que queda en el tanque se enfría en línea recta hacia abajo, a entropía constante (naranja), hacia el punto crítico. La tobera expande su gas a entropía constante (azul) de 20 MPa a una atmósfera, y el gas termina dentro de la campana, donde coexisten líquido y vapor.

El máximo de 76 kN, repartido entre los cuatro propulsores de las esquinas, da 19 kN por propulsor, que a 20 MPa requieren una garganta de 5.9 cm², de 2.8 cm de diámetro; los cuatro juntos tragan 116 kg de nitrógeno por segundo, ritmo al que el tanque lleno dura 2.6 s.

El indicador también dice cuánto nitrógeno usó cada acrobacia. Como el indicador de fuerza G marca el empuje por unidad de peso del auto, la integral de su lectura durante un vuelo, multiplicada por ese peso, es el impulso del empuje, y al dividirlo entre la velocidad de escape se obtiene el gas. Integro solo mientras el auto está en el aire, porque sobre las ruedas el acelerómetro marca el apoyo del piso y no el empuje. Los impulsos de sustentación del kickflip usaron 120 kg y el descenso desde la pared 163 kg, 55% del tanque; como el acelerómetro no ve un par puro, el alabeo añade unos 41 kg, con lo que el kickflip queda casi igual que el descenso. Con 10 % de incertidumbre en la masa y 5 % en la velocidad de escape, la masa de gas por sí sola podría alcanzar para dos acrobacias, pero la presión lo impide. Los propulsores necesitan los 20 MPa del regulador, y el tanque se mantiene por encima de esa presión solo hasta que se ha ido un tercio de su gas, si se enfría al vaciarse, o poco más de la mitad, si las paredes lo mantienen tibio, mientras que una acrobacia usa cerca de la mitad. Un tanque lleno de 600 litros alcanza, por tanto, para una sola acrobacia, y el auto debe recargarlo entre una y otra.

Recargar no es gratis. El trabajo mínimo para comprimir nitrógeno de la atmósfera a ese tanque es su exergía1616. La exergía es el trabajo máximo que una sustancia puede entregar al llegar al equilibrio con su entorno y, por lo mismo, el trabajo mínimo para ponerla en ese estado. Para un gas comprimido a temperatura ambiente es el aumento de entalpía más la temperatura ambiente multiplicada por la disminución de entropía., 595 kJ por kilogramo, o 49 kWh para todo el tanque. Los compresores reales alcanzan quizá de la mitad a dos tercios de ese ideal, así que una recarga cuesta del orden de 70 a 100 kWh, comparable con la batería completa de la mayoría de los autos eléctricos, por una sola acrobacia. El presentador de Hagerty añade que llenar los 600 litros toma hoy de seis a siete horas, que no es algo que se haga en casa y que Tesla trabaja para bajarlo a una media hora (Hagerty 2026). En seis horas y media, esa recarga demanda en promedio entre 11 y 15 kW; en media hora demandaría entre 140 y 200 kW. Musk dijo en el escenario que el propio auto recarga su tanque, pero una recarga que no puede hacerse en casa sugiere que, por ahora, el compresor no va en el auto.

El kickflip

El kickflip es un alabeo alrededor del eje longitudinal del auto. Vistos desde atrás, los propulsores de las esquinas empujan a lo largo del eje vertical del propio auto, y solo pueden empujar, nunca jalar. La diferencia entre los dos lados produce un par, $τ = (F_{B} - F_{A}) d$ , con $d \approx$ 0.85 m, la mitad de la distancia entre las esquinas izquierdas y las derechas; la suma produce una fuerza a lo largo del eje vertical del auto que, cuando el auto está de cabeza, apunta al suelo.

Fuerzas sobre el auto en el plano de alabeo. Los propulsores de las esquinas A y B empujan a lo largo del eje vertical del auto; su diferencia hace alabear el auto. El par de fuerzas τ_c es el par con poca fuerza neta que exigen los indicadores y que la lista de toberas de Tesla no nombra. Los dos propulsores de la nariz producen la guiñada del auto, fuera de este plano.

El Roadster de cabeza sobre el Semi, con los chorros hacia arriba — De cabeza sobre el Semi. Los chorros apuntan hacia arriba, así que los propulsores que disparan en este momento empujan el auto hacia el suelo. Video Kickflip de Tesla en el segundo 0:34.

Las esquinas pueden, entonces, hacer alabear el auto, pero cada newton-metro que producen viene acompañado de un empuje que, durante la mitad del alabeo, apunta al suelo, y los indicadores dicen que el auto no paga ese precio. Si las esquinas produjeran todo el par que necesita el alabeo medido (más abajo), el indicador de fuerza G marcaría al menos 1.1 g en el máximo del alabeo, cuando en realidad marca cerca de 0.2 g durante todo el giro. Para que las esquinas solas fueran compatibles con esa lectura, la inercia de alabeo del auto tendría que ser menor que 279 kg·m², lo que equivale a un radio de giro de 34 cm y a un cuerpo mucho más fácil de alabear de lo que puede ser un auto de este tamaño. El auto produce, por lo tanto, par de alguna manera que añade poca fuerza neta, y la lista de toberas de Moravy no dice cuál. Musk habló de «propulsores de control de actitud», y a media vuelta los cuadros muestran chorros que salen de lado desde las esquinas, como los que producirían toberas de esquina inclinadas. Modelo esa fuente como un par de fuerzas1717. Un par de fuerzas está formado por dos fuerzas iguales y opuestas que no actúan sobre la misma línea; como suman cero, no mueven el centro de masa, pero hacen girar el cuerpo. Su momento es cualquiera de las dos fuerzas multiplicada por la distancia entre sus líneas., $τ_{c}$ , sin fuerza neta, que en los simuladores de más abajo se puede apagar para volar solo con las esquinas.

El alabeo mismo lo leí en el ícono de actitud del HUD. Como un giro que empieza y termina en reposo tiene que acelerar y luego frenar, ajusté un perfil que ya incorpora esas condiciones: una curva de sacudida mínima1818. La sacudida es la tasa de cambio de la aceleración. Una curva de sacudida mínima es la manera más suave de ir de reposo a reposo en un tiempo dado; los movimientos del brazo humano la siguen de cerca. más dos términos de forma que se anulan, junto con sus dos primeras derivadas, en ambos extremos. Según el ajuste, el alabeo empieza 285.5 s después del inicio de la edición de CNET y dura 2.1 s, en los que el auto da la primera media vuelta en cerca de 0.8 s, casi se detiene mientras está de cabeza y da la segunda en otros 0.8 s, con una velocidad de giro máxima de 6.0 rad/s. Si se trata el auto como una caja uniforme de 2.0 por 1.2 m, la inercia de alabeo1919. El momento de inercia desempeña en el giro el papel de la masa en un empujón: el par es igual al momento de inercia por la aceleración angular. Para una caja uniforme de masa m, ancho w y alto h que gira alrededor de su eje largo, vale m(w² + h²)/12. es de 1,065 kg·m², una cota superior para un auto que lleva la batería en el piso, y el par que necesita el perfil llega a 22 kN·m; producirlo solo con las esquinas exigiría una diferencia de 26 kN, más que los 19 kN de un propulsor de esquina.

El alabeo medido. Arriba, el ícono de actitud leído cada 0.1 s, con un perfil que empieza y termina en reposo. Abajo, el par que ese perfil necesita para un auto en forma de caja de 2 350 kg.

La misma lectura aclara cómo se endereza el auto después de dejar la pared, donde pasa de 170° a la horizontal en 1.5 s. Hecho como alabeo, ese giro necesita 12 kN·m; hecho de punta a punta, es decir, como cabeceo, la inercia es de 4,073 kg·m² y el par de 46 kN·m, casi cuatro veces más. Como un auto es mucho más fácil de alabear que de voltear de punta a punta, tomo el giro al dejar la pared como un alabeo y modelo las dos acrobacias en el plano de alabeo.

Ecuaciones de movimiento

Visto desde atrás, el auto es un cuerpo rígido en un plano vertical con tres coordenadas: la posición lateral $h$ , la altura $z$ y el ángulo de alabeo $φ$ , cero con el auto derecho y positivo en sentido antihorario. El estado y las entradas son

𝐱 = (h, z, φ, \dot{h}, \dot{z}, \dot{φ}), 𝐮 = (F_{A}, F_{B}, τ_{c})

con $F_{A}$ y $F_{B}$ el empuje de las parejas de esquinas izquierda y derecha, y $τ_{c}$ el par de fuerzas que produce par sin empuje. Las ecuaciones de Newton y de Euler dan

m \ddot{h} = - (F_{A} + F_{B}) \sin φ, m \ddot{z} = (F_{A} + F_{B}) \cos φ - m g

I \ddot{φ} = (F_{B} - F_{A}) d + τ_{c} + τ_{d}

sujetas a $0 \leq F_{A}, F_{B} \leq F_{m a x}$ y $| τ_{c} | \leq τ_{m a x}$ , donde $τ_{d}$ reúne lo que el controlador no ordena: una tobera desalineada, una ráfaga, la estela de los ventiladores. Las válvulas no ejecutan una orden al instante: cada empuje sigue a su orden con un retardo de unos 30 ms, $T_{v} \dot{F} = F_{c m d} - F$ , y el controlador mide $φ$ con ruido, 100 veces por segundo.

La parte rotacional no depende de la traslación. Su función de transferencia2020. Una función de transferencia describe un sistema lineal como el cociente entre la salida y la entrada después de una transformada de Laplace, en la que s representa derivar y 1/s integrar. Así, 1/(I s²) se lee como dividir entre I e integrar dos veces; e^(−sT) es un retardo puro de T segundos; 1/(T s + 1) es un retardo de primer orden que cubre 63 % de un escalón en T segundos. del par ordenado al ángulo de alabeo es un doble integrador detrás del retardo de las válvulas y de cualquier retardo $T_{d}$ :

\frac{φ (s)}{τ_{c m d} (s)} = \frac{e^{- s T_{d}}}{I s^{2} (T_{v} s + 1)}

Un doble integrador nunca se asienta por sí solo y no tiene amortiguamiento: cualquier error constante de par produce un error de ángulo que crece de forma cuadrática. En sentido inverso sí hay acoplamiento, porque la traslación depende de $φ$ a través de $\cos φ$ y $\sin φ$ , así que un error de alabeo se convierte en una deriva lateral y en una pérdida de sustentación.

El controlador

El lazo de actitud. La referencia es el alabeo medido; el PID con prealimentación calcula un par; la asignación lo manda primero al par de fuerzas, y a la pareja de esquinas solo cuando el auto está lo bastante derecho para que su fuerza neta ayude.

El controlador de actitud, el lazo que lleva el auto al ángulo de alabeo que pide el plan, es un PID sobre el error de alabeo2121. Retroalimentar es actuar sobre el error medido, lo que corrige cualquier cosa que ocurra, incluso lo que nadie modeló, pero solo después de que el error aparece. con un término de prealimentación2222. Prealimentar es actuar sobre el plan en vez de sobre el error: el controlador aplica el par que necesita la referencia antes de que aparezca ningún error. Es rápido pero no ve las sorpresas, y por eso los controladores lo combinan con la retroalimentación, más lenta pero capaz de verlas., normalizado por la inercia para que las ganancias tengan unidades de frecuencia:

τ_{c m d} = I (K_{p} e + K_{i} \int e d t + K_{d} \dot{e} + {\ddot{φ}}_{r e f}), e = φ_{r e f} - φ_{m e d i d o}

El término de prealimentación es el par que necesita la referencia si todo sale según el plan, calculado a partir de la propia referencia, y los términos del PID corrigen lo que el plan no previó2323. El término proporcional empuja contra el error presente; el integral, contra el error acumulado, lo que elimina las desviaciones constantes; el derivativo, contra la tasa de cambio del error, lo que amortigua el movimiento.. Limito el término integral para que no se sature2424. Cuando los propulsores están en su límite, el error persiste y el término integral sigue creciendo, de modo que, cuando por fin el error cambia de signo, el integral sobredimensionado lanza el auto más allá de su objetivo. Limitarlo evita esa saturación, que en inglés se llama windup. mientras los actuadores están en su límite, y calculo la derivada como una diferencia finita del error muestreado.

La asignación convierte un par y una fuerza colectiva en órdenes para los propulsores. El par se asigna primero al par de fuerzas, hasta su límite, y lo que sobra pasa a la pareja de esquinas como una diferencia de empujes, pero solo mientras el auto está a menos de 72° de la posición derecha, porque más allá la fuerza neta de las esquinas empujaría el auto de lado o hacia abajo. Si un reparto exigiera un empuje negativo en un lado, ese lado se cierra y el otro produce el par por sí solo.

La fuerza colectiva sigue su propia lógica, sencilla, con una regla por fase. En el kickflip hay un impulso de despegue, luego los 0.2 g de sustentación residual medidos mientras el auto vuela libre y, al final, una ley de aterrizaje. A menos de 30° de la posición derecha, esa sustentación la produce la pareja de esquinas; más allá, ninguna de las toberas que enumera Tesla puede empujar hacia arriba y no logro ver qué lo hace, así que el modelo la aplica ahí como una fuerza vertical. En el descenso desde la pared no hay empuje mientras el auto se endereza, y después rige la ley de velocidad de descenso de un módulo de aterrizaje, que ordena una velocidad vertical que disminuye con la altura,

v_{r e f} (z) = - \sqrt{v_{g}^{2} + 2 a_{b} (z - z_{g})}

una desaceleración constante $a_{b}$ hasta un punto de paso en $z_{g}$ = 3 m y $v_{g}$ = −2 m/s, y luego una reducción lineal hasta 1 m/s en el contacto. Un lazo PI sobre el error de velocidad vertical fija el empuje, dividido entre $\cos φ$ para que el auto mantenga su velocidad vertical aunque esté inclinado, y una inclinación proporcional a la velocidad horizontal lleva a cero la deriva lateral.

En el simulador, el PID ocupa cinco líneas que se ejecutan cada 10 ms:

err = ref - a_meas
derr = 0.0 if prev_err is None else (err - prev_err) / p.ctrl_dt
prev_err = err
integ = max(-p.i_limit, min(p.i_limit, integ + err * p.ctrl_dt))
tau = inertia * (
    p.kp * err
    + p.ki * integ
    + p.kd * derr
    + (ref_acc if p.feedforward else 0.0)
)

y la asignación es una función que sabe que los propulsores solo empujan:

def allocate(
    collective: float, tau: float, arm: float, cap: float
) -> tuple[float, float]:
    """Split a collective force and a torque between two push-only groups.

    Torque wins: if the split would need a negative thrust, that group is shut
    and the other alone makes the torque, adding |tau|/arm of net force.
    """
    half = tau / (2 * arm)
    fa, fb = collective / 2 - half, collective / 2 + half
    if fa < 0:
        fa, fb = 0.0, abs(tau) / arm if tau > 0 else 0.0
    if fb < 0:
        fa, fb = abs(tau) / arm if tau < 0 else 0.0, 0.0
    return min(max(fa, 0.0), cap), min(max(fb, 0.0), cap)

Sintonización

Con las ganancias normalizadas por la inercia, el lazo rotacional cerrado, sin contar el retardo de las válvulas, tiene el polinomio característico $s^{3} + K_{d} s^{2} + K_{p} s + K_{i}$ . Elegir

K_{p} = ω_{n}^{2}, K_{d} = 1.5 ω_{n}, K_{i} = ω_{n}^{3} / 12

coloca dos polos cerca de la frecuencia natural, en $0.93 ω_{n}$ con amortiguamiento de 0.752525. En un lazo de segundo orden, la frecuencia natural fija qué tan rápido responde y el factor de amortiguamiento cuánto se pasa del objetivo; un factor de 0.7 a 0.8 da un sobreimpulso de 2 a 5 % y ninguna oscilación. Eso vale para un lazo de segundo orden puro, y este tiene además los ceros del PID, por los que un escalón aislado en la referencia se pasa cerca de 20 %; un giro planeado con prealimentación, sin embargo, nunca pide un escalón., y un tercer polo, lento, cerca de $ω_{n} / 10$ , que elimina los errores permanentes (Åström y Murray 2021), con lo que queda un solo número por elegir. Las reglas de Ziegler y Nichols (Ziegler y Nichols 1942) sintonizan a partir de una respuesta al escalón medida o de la ganancia a la que el lazo oscila, y un doble integrador no tiene ninguna de las dos, así que aquí el método natural es la asignación de polos.

Un lazo más rápido es mejor hasta que el retardo lo alcanza: el retardo de las válvulas y el periodo de muestreo ya cuestan fase, y cada milisegundo de latencia adicional cuesta más cuanto mayor es la frecuencia2626. Un retardo de T segundos desplaza ωT radianes una senoide de frecuencia angular ω; cuando una corrección llega con medio ciclo de atraso, se suma al error en vez de cancelarlo y el lazo oscila. Como todo lazo tiene algún retardo, todo lazo tiene también una frecuencia máxima a la que puede trabajar.. Barrí $ω_{n}$ para tres latencias:

Peor error de alabeo durante el kickflip simulado en función de la frecuencia natural del lazo. Las cruces marcan las corridas que fallan: el auto aterriza inclinado o rápido, o no llega a los 6 m que necesita para librar la fila. Cada 30 ms de latencia recortan cerca de un tercio el ancho de banda útil.

Sin latencia adicional, el error disminuye hasta unos 16 rad/s; más allá, el término derivativo convierte el ruido del sensor en demandas de par mayores que los 30 kN·m del par de fuerzas, y el exceso pasa a la pareja de esquinas. Como durante el despegue las dos esquinas están a empuje máximo, la única manera de producir una diferencia es reducir un lado, y desde 20 rad/s el auto pierde tanta sustentación que ya no llega a los 6 m que necesita para librar la fila, aunque sigue aterrizando derecho y despacio. Con 30 ms adicionales falla por encima de 12 rad/s, y con 60 ms, por encima de 8. El otro límite lo pone el ruido: el término derivativo multiplica el ruido de medición por $K_{d} / Δ t$ , y ese par es gas real gastado en nada. Elegí $ω_{n}$ = 8 rad/s, que da $K_{p}$ = 64 s⁻², $K_{d}$ = 12 s⁻¹ y $K_{i}$ = 512/12 ≈ 43 s⁻³, que redondeo a 40; ese valor queda muy dentro del límite del retardo y deja margen para el ruido.

Modelo frente a medición

La estructura del controlador es mía, pero el tamaño de cada impulso es del auto y lo fija la telemetría. Ajusté el impulso de despegue del kickflip y el nivel de frenado del descenso por mínimos cuadrados sobre la altitud del indicador2727. Se trata de identificación de sistemas: elegir los parámetros desconocidos de un modelo para que su salida coincida con datos medidos. Aquí los parámetros son el tamaño y la duración del impulso de despegue y el nivel de frenado del descenso, y los datos, el indicador de altitud.. El despegue resulta de 3.3 g durante 0.44 s, cerca de los 3.2 g que marca el indicador al despegar, y el frenado, de una desaceleración de diseño de 1.1 g. El descenso se ajusta mejor sin impulso de sustentación mientras el auto se endereza, aunque en ese medio segundo el indicador marca de 0.3 a 0.5 g y los anillos de las esquinas derechas están encendidos, es decir, el auto está disparando; según el ajuste, ese empuje es demasiado pequeño, o apunta demasiado de lado, para cambiar mucho la altura.

La simulación frente a los indicadores. La altitud coincide con un RMS de 0.30 m en el kickflip y de 0.55 m en el descenso; el controlador sigue el giro ajustado al ícono del HUD con un margen de 4° en el kickflip y de 5° en el descenso. Terminado el giro del descenso, el controlador inclina el auto hasta 9° contra su velocidad lateral, algo que el giro ajustado no incluye.

	Kickflip	Descenso desde la pared
Error de altitud contra el indicador, RMS	0.30 m	0.55 m
Peor error de seguimiento del alabeo	4.0°	5.3°
Contacto con el suelo	1.6 m/s, a 0.0° de la horizontal	1.4 m/s, a 0.1° de la horizontal
Nitrógeno, simulado	174 kg	154 kg
Nitrógeno, según el indicador	120 kg, más unos 41 kg para el alabeo	163 kg
Fuerza específica máxima, simulada y medida	3.3 g y 3.2 g	2.5 g y 3.3 g

El nitrógeno simulado coincide con la estimación del indicador con un margen de 8 %, dentro de la incertidumbre de la masa y de la velocidad de escape. Conviene señalar dos desacuerdos, que muestran las figuras de abajo. El primero es que el auto real frena antes y más fuerte que mi ley de velocidad de descenso: al dejar la pared, el indicador supera 1.5 g a 12.1 m de altura y alcanza un máximo de 3.3 g a 6.7 m, mientras que el PID supera 1.5 g a 9.6 m y alcanza un máximo de 2.5 g en su punto de paso de 3 m; el controlador de Tesla quita la mayor parte de la velocidad en lo alto y luego baja despacio los últimos metros. El segundo es que el auto real enciende los propulsores de las esquinas mientras gira, en tanto que mi asignación manda el par primero al par de fuerzas.

Lo que decide el PID frente a lo que hizo el auto, en el kickflip. En dorado, un anillo de propulsor encendido en el HUD. En azul, el empuje que produce cada grupo del PID simulado, como fracción del máximo que puede dar. Los dos despegan con las cuatro esquinas. Durante el alabeo, el PID usa solo el par de fuerzas, como dicta su asignación; el auto enciende sus esquinas izquierdas y derechas en ráfagas alternadas. El auto también empieza su impulso de aterrizaje más alto, pues supera 1.5 g a 4.6 m de altura frente a 3.2 m del PID, y frena más fuerte, 2.5 g frente a 1.7 g. Los anillos de la nariz son los dos propulsores de guiñada, que este modelo plano deja fuera; la fila de abajo muestra el par de fuerzas que el modelo usa en su lugar.

La misma comparación para el descenso desde el medio rizo. El auto enciende sus esquinas derechas al dejar la cima y los dos lados desde 0.4 s, mientras se endereza; el PID gira solo con el par de fuerzas y dispara su pareja de esquinas desde cerca de 1.2 s, una vez derecho. Después, el auto frena antes y más fuerte: alcanza un máximo de 3.3 g a 6.7 m, frente a 2.5 g a 3.0 m del PID.

Deriva lateral

En el kickflip el auto también se desplaza de lado, lo que lleva a preguntarse si alguien controlaba ese movimiento. Para responderlo sirven dos cámaras que ven cosas distintas. La toma lejana de Tesla capta el auto de perfil y la fila estacionada de punta, de modo que el gran movimiento horizontal que se ve en ella es el avance del auto a lo largo de su propio eje, el salto que libra la fila. La toma abierta de la transmisión, en cambio, capta el auto de punta durante la primera mitad del alabeo, así que el movimiento horizontal que registra es lateral: cerca de medio metro en los primeros 0.75 s, medido contra el Semi con el ancho del propio auto como regla. En la segunda mitad el auto queda de perfil ante esa cámara, señal de que también gira unos 90° en guiñada mientras alabea, algo que mi modelo plano no puede representar. Hasta donde dan las cámaras, estimo la deriva lateral total en uno a dos metros.

La simulación también deriva, 1.7 m al tocar el suelo, por el acoplamiento de las ecuaciones de movimiento: la única fuerza lateral que puede producir el auto es su sustentación, inclinada con la carrocería, $m \ddot{h} = - F \sin φ$ . Durante el despegue de 3.3 g, el sesgo de las toberas y el ruido del sensor mantienen el auto a cerca de 1° de la horizontal, y 1° de un impulso de 76 kN acelera de lado 2 350 kg a 0.56 m/s²; la sustentación residual añade unas décimas de metro por segundo cuando empieza el alabeo. Una vez que el auto alabea, nada puede empujarlo de vuelta, porque la sustentación está apagada y el par de fuerzas hace girar el auto sin producir fuerza neta, de modo que el auto cruza la fila con cerca de medio metro por segundo de velocidad lateral durante tres segundos.

Mantener la posición lateral exige inclinarse contra la deriva, algo que el auto solo puede hacer cuando vuelve a estar derecho, con cerca de 1.3 s por delante y a costa de una inclinación que preferiría no tener al tocar el suelo. Con un lazo que mantiene la posición lateral, el kickflip simulado aterriza a 1.2 m de su línea en vez de 1.7 m, aunque inclinado 1° en lugar de horizontal. El descenso desde la pared tiene más tiempo después del giro, y en él el mismo lazo reduce la desviación de 2.8 m a 0.9 m, a partir de la velocidad lateral aproximada de 1.5 m/s que supuse.

La deriva, entonces, es fácil de explicar y difícil de eliminar con un lazo por eje, porque el auto es subactuado2828. Un sistema es subactuado cuando tiene menos controles independientes que coordenadas por controlar. Un auto en la calle lo es, ya que no puede moverse de lado directamente, y por eso estacionarse en paralelo exige varias maniobras.: tiene tres coordenadas y, durante el alabeo, una sola manera de producir una fuerza. Es el caso de la aeronave plana de despegue y aterrizaje vertical de la literatura de control (Hauser, Sastry, y Meyer 1992), cuyo remedio conocido es planear juntas la posición y la actitud en vez de controlarlas por separado; así puede elegirse una trayectoria en la que se cancelen los impulsos laterales del despegue y del aterrizaje (Fliess et al. 1995; Martin, Devasia, y Paden 1996). Con esa misma planeación conjunta los cuadricópteros vuelan trayectorias agresivas por huecos estrechos (Mellinger y Kumar 2011) y, ajustando una maniobra planeada de un vuelo al siguiente, encadenan varias volteretas (Lupashin et al. 2010). Sospecho que Tesla no se ocupó de la deriva, porque en un estacionamiento vacío aterrizar un metro a un lado no cuesta nada, mientras que aterrizar inclinado cuesta mucho.

Vuélalo tú

Los dos simuladores de abajo ejecutan el mismo modelo que el análisis, traducido línea por línea a JavaScript y comparado con él hasta la sexta cifra significativa. Al cambiar una ganancia o una casilla, la página vuelve a calcular el vuelo; oprime volar para verlo.

El kickflip. El auto y las curvas azules son el vuelo simulado con los ajustes de arriba; las curvas naranjas son los indicadores de la transmisión. Cada cambio vuelve a calcular el vuelo; oprime volar para verlo o arrastra la barra de tiempo. Para probar: desmarca la prealimentación y el peor error de alabeo crece de 4° a 21°, porque el PID se entera del giro solo cuando el auto ya se quedó atrás. Pon K_p en 0 y la prealimentación sigue volando el alabeo, con un error máximo de 17°. Sube el ruido del sensor a 3° y el término derivativo convierte el ruido en empuje: el auto aterriza volcado 45° a 7.1 m/s. Desmarca el par de fuerzas τ_c y los propulsores de las esquinas producen todo el par, como en la lista de toberas de Tesla; de cabeza empujan el auto hacia el suelo, contra el que choca a 9.1 m/s. Marca mantener la posición lateral y el auto aterriza a 1.2 m de su línea en vez de 1.7 m, inclinado 1°.

K_p, K_i, K_d: Las ganancias del PID, divididas entre la inercia para que sean frecuencias. K_p empuja contra el error de alabeo presente, K_i contra el error acumulado y K_d contra su tasa de cambio.
latencia adicional: Retardo entre el controlador y las válvulas, además de los 30 ms de retardo de las válvulas y del periodo de control de 10 ms.
ruido del sensor: Desviación estándar del ángulo de alabeo que mide el controlador, 100 veces por segundo.
tobera desalineada: Un par constante que el controlador desconoce.
ráfaga durante 0.3 s: Un pulso de par, a 1.2 s del inicio del kickflip y a 0.6 s del inicio del descenso.
impulso de despegue, frenado de diseño: El empuje de despegue del kickflip; la desaceleración que planea la ley de velocidad de descenso por encima de 3 m.
prealimentación: Añade el par que necesita el giro planeado antes de que aparezca ningún error.
par de fuerzas τ_c: El par sin empuje, de hasta 30 kN·m, que exigen los indicadores y que la lista de toberas de Tesla no nombra. Desmarcado, la pareja de esquinas produce todo el par, en cualquier ángulo.
válvulas todo o nada: Cada válvula, abierta o cerrada del todo, pulsa 100 veces por segundo para que los pulsos promedien la orden.
el tanque se enfría al vaciarse: El gas que queda en el tanque se expande sin calor de las paredes, así que la presión y el empuje caen conforme avanza la acrobacia.
segunda acrobacia: El tanque empieza a 45 %, más o menos lo que deja una acrobacia, y ya frío.
referencia medida: El giro planeado es el que se leyó en el ícono del HUD; desmarcada, un giro suave de sacudida mínima.
mantener la posición lateral: Ya derecho, inclinarse contra la desviación lateral además de contra la velocidad lateral.

El descenso desde el medio rizo, a partir del momento en que el auto deja la cima de cabeza; los controles son los mismos de arriba. Para probar: marca segunda acrobacia y el tanque empieza a 45 % y frío, el empuje que espera la ley de velocidad de descenso no está, y el auto choca contra el suelo a 16 m/s. Pon el frenado de diseño en 0.7 g y el auto flota más tiempo y gasta 166 kg de nitrógeno; a 2.0 g gasta 144 kg y aterriza a 1.5 m/s. Una ráfaga de 30 kN·m desvía el giro 33° de su plan, y el auto aterriza de todos modos. Desmarca el par de fuerzas τ_c y también aterriza, a 8.3 m a un lado.

Casos de falla del PID

El PID vuela las dos acrobacias en la simulación; la tabla siguiente muestra qué pasa cuando fallan, uno a la vez, los supuestos en los que se apoya:

Cambio	Kickflip	Descenso
Ninguno (los ajustes de arriba)	aterriza, 1.6 m/s	aterriza, 1.4 m/s
Válvulas todo o nada, moduladas a 100 Hz	aterriza, 1.6 m/s	aterriza, 1.3 m/s
Sin prealimentación	aterriza, peor error de 21°	aterriza, peor error de 14°
Sesgo de tobera de 6 kN·m, sin integral	aterriza inclinado 5.1°	aterriza inclinado 0.1°
Sesgo de tobera de 6 kN·m, con integral	aterriza inclinado 0.1°	aterriza inclinado 0.1°
50 ms de latencia adicional	aterriza, peor error de 20°	aterriza, 200 kg de nitrógeno
120 ms de latencia adicional	el alabeo diverge, aterriza volcado 158°	aterriza de lado
Ruido del sensor de 3°	aterriza volcado 45°	aterriza, 268 kg de nitrógeno
Solo los propulsores de las esquinas, como los enumera Tesla	choca a 9.1 m/s	aterriza, 1.3 m/s, a 8.3 m a un lado
El tanque se enfría al vaciarse	choca a 5.9 m/s	choca a 3.1 m/s
Segunda acrobacia: el tanque que deja la primera, frío	nunca despega	choca a 16 m/s
Mantener la posición lateral después del giro	aterriza a 1.2 m a un lado, no a 1.7 m	aterriza a 0.9 m a un lado, no a 2.8 m

El PID resiste cuatro de estos casos. Las válvulas todo o nada no cambian nada, porque una modulación de 100 Hz y un retardo de 30 ms promedian los pulsos en el empuje que pidió el controlador; un sesgo constante es justo lo que corrige el término integral, y el controlador tolera 50 ms de latencia adicional y sobrevive a la pérdida de la prealimentación a costa de precisión. Lo hacen fallar, en cambio, una latencia grande, un ruido de sensor fuerte, los propulsores de las esquinas solos y un tanque que se enfría. La latencia y el ruido hacen fallar cualquier lazo de retroalimentación por encima de cierto ancho de banda, y los dos últimos casos comparten una causa: un PID reacciona al error que ve en ese momento, sin saber que el tanque tiene menos que dar que hace un segundo, que el suelo está a tres metros ni que el par que está por pedir viene con un empuje hacia ese suelo, porque no puede planear.

El modelo deja fuera, además, varias cosas con las que un auto real tiene que lidiar. Es plano, mientras que el auto real alabea, cabecea y guiña a la vez, y un controlador escrito con ángulos de Euler falla cuando el cabeceo llega a 90°2929. Los ángulos de Euler describen la actitud como tres rotaciones sucesivas; a 90° de cabeceo, dos de los tres ejes se alinean y desaparece un grado de libertad, el llamado bloqueo del cardán, en el que las ecuaciones dividen entre el coseno del cabeceo. Los cuaterniones, cuatro números sobre una esfera unitaria, describen cualquier actitud sin un punto así., ángulo por el que este auto pasa en la pared. Las cuatro ruedas, al girar, son giroscopios: a 20 rad/s, cuatro ruedas de alrededor de 1 kg·m² llevan 80 N·m·s de momento angular, y alabear a 6 rad/s convierte eso en unos 500 N·m de par de guiñada, poco frente a 22 kN·m, pero un acoplamiento que un lazo por eje ignora. La succión de los ventiladores tiene que cederles el relevo a los propulsores cuando el auto deja la pared, y los chorros que rebotan en el suelo cambian el empuje en el último metro. Por último, el controlador necesita saber dónde está el auto, y como una unidad inercial deriva, algo tiene que medir la altura y la actitud de forma independiente3030. La herramienta usual es un filtro de Kalman, que combina la predicción de un modelo con mediciones ruidosas, ponderando cada una por su incertidumbre, para estimar magnitudes que ningún sensor mide bien por sí solo..

Arquitectura probable del control de vuelo

Tesla no lo ha dicho, así que esta sección es inferencia. Los presentadores le atribuyeron a SpaceX «el resto», y Lars Blackmore, de SpaceX, ha descrito cómo aterriza la empresa sus cohetes: con una optimización convexa resuelta a bordo en una fracción de segundo mediante un resolvedor generado con CVXGEN (Blackmore 2016). El problema de fondo es el guiado de descenso propulsado, es decir, encontrar la historia de empuje que usa el menor propelente posible respetando los límites de empuje, un límite de inclinación, el suelo y un contacto suave. Ese problema no es convexo, porque un motor cohete no puede regularse por debajo de cierto mínimo, y el método que lo volvió resoluble en milisegundos demuestra que una relajación convexa3131. Un problema es convexo cuando el conjunto de soluciones admisibles no tiene entrantes y el costo tiene un solo valle, de modo que cualquier óptimo local es el global y un resolvedor lo encuentra con seguridad en un tiempo acotado, que es lo que necesita una computadora de vuelo. de la restricción de empuje es exacta en el óptimo (Açıkmeşe y Ploen 2007). Los generadores de código como CVXGEN convierten un problema así en un resolvedor lo bastante pequeño y rápido para una computadora de vuelo (Mattingley y Boyd 2012), y la convexificación sucesiva lo extiende al problema completo de seis grados de libertad (Szmuk y Açıkmeşe 2018). Resolver de nuevo el problema desde el estado medido en cada paso se llama control predictivo por modelo3232. El control predictivo por modelo planea los siguientes segundos con un modelo, aplica solo el primer paso del plan, mide dónde está realmente el auto y vuelve a planear, y esa replanificación lo convierte en retroalimentación. (Mayne et al. 2000).

Una arquitectura de control de vuelo plausible para el auto, por analogía con los trabajos publicados sobre aterrizaje de cohetes. Solo la capa de actitud se parece al PID de este texto. LQR es un regulador lineal cuadrático, y la IMU, una unidad de medición inercial; el último párrafo de esta sección explica cada capa.

Probé este enfoque en el descenso. Desde el momento en que el auto vuelve a estar derecho, a 16.6 m de altura y cayendo a 8.8 m/s, el descenso óptimo en nitrógeno necesita 84 kg, mientras que la ley de velocidad de descenso del PID, con el frenado de 1.1 g ajustado al indicador, necesita 127 kg en el mismo modelo de masa puntual. El perfil óptimo mantiene un empuje ligero, de 0.2 a 0.5 g, mientras el auto cae, frena luego cerca del empuje máximo, 3.2 g, y llega al suelo con la velocidad de contacto, un comportamiento más parecido al del descenso real, que frena a 3.3 g, que el de mi PID.

El problema que resuelve el guiado trata el auto como un punto con posición $𝐫$ y velocidad $𝐯$ en el plano vertical, sometido a un empuje $𝐮$ por unidad de masa:

{min}_{𝐮 (t)} \int_{0}^{t_{f}} Γ d t sujeto a \dot{𝐫} = 𝐯, \dot{𝐯} = 𝐮 + 𝐠

‖ 𝐮 ‖ \leq Γ \leq T_{m a x} / m, u_{z} \geq Γ \cos θ_{m a x}, z \geq 0

𝐫 (0) = 𝐫_{0}, 𝐯 (0) = 𝐯_{0}, z (t_{f}) = 0, 𝐯 (t_{f}) = (0, - v_{l a n d})

Aquí $Γ$ acota el tamaño del empuje, de modo que su integral multiplicada por $m / v_{e}$ es el nitrógeno usado; $T_{m a x}$ es lo que puede dar el tanque, el máximo medido de 76 kN mientras el tanque está por encima de los 20 MPa del regulador y menos cuando no lo está; el límite de inclinación $θ_{m a x}$ es de 15° y la velocidad de contacto $v_{l a n d}$ es de 1 m/s. Todas las restricciones son lineales o cónicas, así que el problema es convexo3333. Un motor que no puede regularse por debajo de $T_{m i n}$ vuelve no convexa la restricción $T_{m i n} \leq m ‖ 𝐮 ‖$ . Açıkmeşe y Ploen sustituyen el tamaño del empuje por una variable de holgura $Γ$ , con $‖ 𝐮 ‖ \leq Γ$ y $T_{m i n} / m \leq Γ$ , que sí es convexa, y demuestran que en el óptimo $‖ 𝐮 ‖ = Γ$ , así que la relajación no pierde nada. Mi versión no tiene empuje mínimo, de modo que $Γ$ solo nombra el tamaño del empuje. y un resolvedor encuentra su óptimo en milisegundos. El controlador lo integra en un lazo: cada 0.2 s mide $𝐫$ y $𝐯$ , resuelve el problema para tiempos finales $t_{f}$ de 0.2 a 3.2 s, conserva el plan que usa menos nitrógeno, vuela sus primeros 0.2 s y vuelve a planear. Cuando el tanque se enfría al vaciarse, el límite de empuje depende de cuánto gas usa el propio plan, una dependencia que no es convexa, así que el controlador resuelve con el límite que da el tanque en ese momento, vuelve a calcular el límite a lo largo del consumo de gas del plan y resuelve otra vez hasta que ambos coinciden, en un caso pequeño de convexificación sucesiva.

El descenso predictivo repetido, un plan a la vez. Azul discontinuo grueso: el plan que vuela el MPC, resuelto desde el estado de ese momento; discontinuo tenue: sus planes anteriores; azul continuo: la trayectoria volada hasta ahora; punteado: el empuje que el tanque todavía puede dar. Naranja: la ley de velocidad de descenso del PID desde el mismo estado. Cada plan nuevo aterriza en el mismo momento que el anterior, porque el auto hace lo que predice el modelo. Con un tanque que se enfría al vaciarse, el PID frena suavemente desde lo alto y gasta un gas que el tanque no puede reponer. En los últimos metros, el tanque está por debajo de los 20 MPa del regulador y da 1.9 g a plena apertura en vez de 3.3, de modo que cada apertura de válvula entrega menos empuje del que pide la ley. El MPC primero cae y frena tarde, mientras el tanque todavía da 3.2 g. Elige un caso, oprime reproducir o arrastra la barra de tiempo.

En lazo cerrado, con una replanificación cada 0.2 s:

El descenso después de que el auto se endereza: la ley de velocidad de descenso del PID frente a un controlador predictivo que vuelve a resolver el descenso óptimo en nitrógeno cada 0.2 s. Con el tanque tibio, el MPC usa cerca de un tercio menos de nitrógeno. Con un tanque que se enfría al vaciarse, la velocidad de contacto del PID se duplica y la del MPC no cambia.

	Tanque que se mantiene tibio	El tanque se enfría al vaciarse
Ley de velocidad de descenso del PID	aterriza a 1.3 m/s, 127 kg	toca el suelo a 2.6 m/s, 126 kg
MPC, replanificación óptima en nitrógeno	aterriza a 1.4 m/s, 82 kg	aterriza a 1.4 m/s, 89 kg

La comparación favorece al MPC en un aspecto: aquí la planta es el mismo modelo de masa puntual con el que planea, y su modelo del tanque es exacto, mientras que un MPC real planea con un modelo imperfecto y depende de la replanificación para absorber la diferencia. El MPC aterriza suavemente con el tanque que se enfría porque planea con el empuje que el tanque todavía tendrá, dato que un sistema real obtiene de la presión y la temperatura del tanque. A un PID se le podría dar la misma lectura, programando su ley de velocidad de descenso según la presión del tanque, pero seguiría sin planear, pues reacciona a la velocidad que ve en ese momento.

Ninguno de los dos controladores puede aterrizar la segunda acrobacia. Con el tanque que deja la primera, ya frío, los propulsores pueden dar a lo sumo 1.1 g cuando el auto vuelve a estar derecho, apenas lo necesario para sostenerse en el aire, y ninguna historia de empuje logra tocar el suelo a menos de 13 m/s. El PID lo descubre al llegar al suelo; el MPC, en cambio, encuentra infactible su primer plan, de modo que un auto que lo usara lo sabría antes de comprometerse con la acrobacia.

Bajo el guiado sigue habiendo un lazo de actitud, la capa que lleva el auto a la orientación que pide el guiado, y bien puede parecerse al PID de este texto o ser un regulador lineal cuadrático3434. Un regulador lineal cuadrático, o LQR por sus siglas en inglés, toma sus ganancias de un modelo lineal del vehículo: son las que minimizan una suma ponderada del cuadrado del error de seguimiento y del cuadrado del esfuerzo de control. El PID de este texto se sintoniza colocando sus polos, mientras que las ganancias de un LQR se derivan de esas ponderaciones., escrito con cuaterniones (cuatro números que describen cualquier orientación sin la singularidad que tienen los ángulos de Euler a 90° de cabeceo) y con prealimentación a partir del plan. Debajo de él, una capa de asignación decide qué toberas disparan y durante cuánto tiempo; para propulsores todo o nada suele ser una modulación por ancho de pulso, o por ancho y frecuencia de pulso3535. Una válvula todo o nada no puede abrirse a medias. La modulación por ancho de pulso la abre durante una fracción de cada periodo corto, de modo que el empuje promedio en el periodo sea igual a la orden; la modulación por ancho y frecuencia de pulso varía además el periodo., o un pequeño programa lineal o entero mixto3636. Un programa lineal encuentra los valores que minimizan un costo lineal sujeto a restricciones lineales; aquí, qué toberas disparar para producir la fuerza y el par ordenados con el menor gasto de gas. En un programa entero mixto algunos valores tienen que ser enteros, y con ellos puede expresarse que una válvula está abierta o cerrada. (Wie 2008). Alrededor de todo, un estimador de estado, por lo general un filtro de Kalman que pondera la predicción de un modelo frente a mediciones ruidosas, fusiona las lecturas de la unidad de medición inercial (IMU), de las ruedas, de los sensores de distancia y del manómetro del tanque. El PID es la parte fácil de explicar, y el guiado que está encima, que aterriza suavemente el auto con un tanque que se agota, es la que yo llamaría la parte difícil.

Conclusiones

Las cifras de Tesla se sostienen. Con los 2 350 kg que se deducen del indicador de DOWNFORCE y de los 2 G de succión declarados, los ventiladores sostienen al auto mientras recorre despacio el medio rizo con un margen de cerca de 1.7 en el agarre. El tanque de 600 litros guarda 297 kg de nitrógeno supercrítico, suficientes para una acrobacia, porque su presión cae por debajo de los 20 MPa del regulador después de usar entre un tercio y la mitad del gas, y una acrobacia usa cerca de la mitad. Recargarlo cuesta al menos 49 kWh, y las seis a siete horas que cita Hagerty sugieren que el compresor no va en el auto.

El alabeo medido no cuadra con la lista de toberas de Tesla. Si el auto alabeara solo con los propulsores de las esquinas, el empuje hacia el suelo haría marcar al indicador al menos 1.1 g, cuando marca cerca de 0.2 g, de modo que el auto produce la mayor parte del par de alabeo de otra manera, que modelo como un par de fuerzas inferido, $τ_{c}$ .

En la simulación, un lazo PID vuela las dos acrobacias y sigue de cerca la altitud del indicador, pero falla con una latencia grande, un ruido de sensor fuerte, los propulsores de las esquinas solos o un tanque que se enfría al vaciarse, porque reacciona al error que ve y no planea. Un descenso predictivo que planea con el empuje que el tanque tendrá usa 82 kg de nitrógeno frente a los 127 kg del PID con el tanque tibio, y con un tanque que se enfría sigue aterrizando a 1.4 m/s, mientras que la velocidad de contacto del PID sube a 2.6 m/s. Con el tanque que deja la primera acrobacia, ninguno de los dos controladores puede aterrizar una segunda.

Las fuerzas y el gas son física ordinaria. La parte difícil es el guiado que está por encima del lazo de actitud, que tiene que planear un descenso mientras el empuje del tanque disminuye.

Método

El análisis es un pequeño proyecto en Python: los indicadores se leen comparando sus glifos con los conglomerados etiquetados que describí antes, el nitrógeno sale de CoolProp (Bell et al. 2014), las acrobacias de un simulador plano escrito para este texto y el descenso convexo de cvxpy (Diamond y Boyd 2016), resuelto con Clarabel (Goulart y Chen 2024), y cada número del texto se toma de esos resultados al construir la página. Los simuladores de esta página son una traducción línea por línea a JavaScript del simulador en Python, comparada con él en once casos hasta la sexta cifra significativa.

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